Краткое введение в тригонометрию
Автор RandyKeeling
Этот учебник включает в себя:
Треугольник имеет три стороны и в «нормальном» (т.е. евклидовом) пространстве имеет три угла, сумма которых равна 180 градусов (или ПИ радиан). Для этого урока мы будем иметь дело только с «нормальными» треугольниками (для тех, кто заинтересован в других пространствах, ищите неевклидовые треугольники или неевклидовую геометрию).
Прямоугольные треугольники
Начнем с того, что мы будем иметь дело с особым классом треугольников, известных как прямоугольные треугольники. Прямоугольный треугольник имеет один из углов, равный 90 градусов. Поскольку сумма углов треугольников должна быть ровно 180 градусов, то угол в 90 градусов может быть только один в треугольнике (и это самый большой угол в прямоугольном треугольнике). Ниже код FreeBASIC , рисующий образ прямоугольного треугольника. (Это изображение будет упоминаться на протяжении всего урока.) На этом образе, прописные буквы обозначают стороны, а соответствующие им строчные буквы обозначают угол , противоположный стороне. Например, угол y является противоположным стороне Y.
Квадрат в нижнем правом углу означает, что этот угол является прямым углом (90 градусов). Сторона, противоположная этому углу (сторона Z) называется гипотенузой и это самая длинная сторона в прямоугольном треугольнике.
Теорема Пифагора
Пожалуй первый бит тригонометрии, которому учат большинство людей - это широко известная теорема Пифагора. Она просто заявляет, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов двух других сторон. Это легче понять в форме уравнения.
Z^2 = X^2 + Y^2
Тривиальный пример применения этого закона может быть следующим.
Если один игрок прошел 100 метров в сторону восточного направления, а второй игрок из той же точки 150 метров в северном направлении, как далеко они находятся друг от друга?
D = SQR(100^2 + 150^2)
Тригонометрические функции
Люди давно обнаружили, что независимо от размера треугольника, определенные коэффициенты всегда были одинаковыми. Например в изображении выше, если один из углов прямоугольного треугольника 45 градусов, то независимо от размера треугольника, отношение Y / X всегда будет тем же самым. Коллекция этих соотношений является тригонометрическими функциями.
Три основные функции — синус (Sin), косинус (Cos), и тангенс (Tan). Есть много разных способов для определения этих трех функций. Один из способов - это отношение между сторонами прямоугольного треугольника.
FreeBASIC имеет функции для вычисления этих тригонометрических функций и др.
Применение тригонометрических функций
Обратимся снова к изображению треугольника выше, скажем, что один игрок находится на земле в точке вблизи угла у , а второй игрок находится в точке вблизи угла х (от земли). Если первый игрок знает, как далеко он от боковой Y (скажем, 25,2 метров) и может измерить значение угла у (скажем 31,5 градусов), как далеко от земли находится второй игрок? На каком расстоянии друг от друга находятся игроки?
Чтобы решить эту проблему мы смотрим на те кусочки информации, которые узнали выше. Мы знаем, прилегающую сторону угла у (25,2 метров) и меру угла у (31,5 градусов). Этой информации достаточно, чтобы использовать функцию тангенс. Tan ( y ) = катет напротив/катет рядом, или TAN(31.5 градусов) = катет напротив/25.2 метров. Используя алгебраическую перестановку, получаем тангенс напротив = Tan(31.5 градусов) * 25.2 метров. Чтобы найти расстояние между игроками , мы можем использовать теорему Пифагора теперь, когда мы знаем эти два катета треугольника и мы можем использовать косинус. Использование косинуса даст Cos ( y ) = катет рядом/гипотенуза. Используя алгебраическую перестановку, получаем гипотенуза = 25.2/Cos(31.5 градусов).
Прежде чем мы сможем написать программу для решения этого, мы должны помнить, что FreeBASIC, как и большинство языков программирования, работает с радианами, а не с градусами (см. Углы ).
В FreeBASIC мы могли бы получить ответ с помощью этого кода.
Приведенный выше код говорит нам, что игрок два находится ~15,4 метров от земли , а расстояние между ними ~29,5 метров (по гипотенузе).
Обратные тригонометрические функции
Но что, если вы знаете, стороны треугольника и нужно найти угол? Для этого вы должны использовать обратные тригонометрические функции.
Это дает угол около 0,6435 радиан, или около 36,9 градусов. FreeBASIC команды для каждой из этих обратных функций:
Есть и другие тригонометрические функции, которые определены в терминах этих функций. Хотя ни одна из ниже описанных, не определена в FreeBASIC.
Теоремы синусов, косинусов и другие тождества
Все вышеперечисленное было о прямоугольном треугольнике, но это была помощь в объяснении основных тригонометрических функций. Следующее не полагается на прямоугольные треугольники; Эти формулы действительны для любого треугольника.
Теоремы синусов
Sin (y)/Y = Sin (x)/X = Sin (z)/Z
Теоремы косинусов
Z^2 = X^2 + Y^2 - 2*X*Y*Cos(z)
Другие тождества
Sin^2(y) + Cos^2(y) = 1
Это означает тоже , что и Sin(y)*Sin(y) + Cos(y)*Cos(y) = 1
Tan(y) = Sin((y)/Cos(y)
Есть и другие полезные тождества. Ищите тригонометрические тождества или консультируйтесь по ним на определенных математических сайтах.
Этот учебник включает в себя:
- Прямоугольные треугольники
- Теорема Пифагора
- Тригонометрические функции
- Применение тригонометрических функций
- Обратные тригонометрические функции
- Другие тригонометрические функции
- Теоремы синусов, косинусов и другие тождества
Треугольник имеет три стороны и в «нормальном» (т.е. евклидовом) пространстве имеет три угла, сумма которых равна 180 градусов (или ПИ радиан). Для этого урока мы будем иметь дело только с «нормальными» треугольниками (для тех, кто заинтересован в других пространствах, ищите неевклидовые треугольники или неевклидовую геометрию).
Прямоугольные треугольники
Начнем с того, что мы будем иметь дело с особым классом треугольников, известных как прямоугольные треугольники. Прямоугольный треугольник имеет один из углов, равный 90 градусов. Поскольку сумма углов треугольников должна быть ровно 180 градусов, то угол в 90 градусов может быть только один в треугольнике (и это самый большой угол в прямоугольном треугольнике). Ниже код FreeBASIC , рисующий образ прямоугольного треугольника. (Это изображение будет упоминаться на протяжении всего урока.) На этом образе, прописные буквы обозначают стороны, а соответствующие им строчные буквы обозначают угол , противоположный стороне. Например, угол y является противоположным стороне Y.
ScreenRes 640,480,8
'Треугольник
Color 7
Line (220,140) - (220,340)
Line (220,140) - (420,340)
Line (220,340) - (420,340)
'Прямой угол
Color 12
Line (220,320) - (240,320)
Line (240,320) - (240,340)
'Углы
Color 13
Locate 20,29
Print "x"
Locate 42,50
Print "y"
'Стороны
Color 14
Locate 31,43
Print "Z"
Locate 31, 26
Print "Y"
Locate 45, 40
Print "X"
Sleep
'Треугольник
Color 7
Line (220,140) - (220,340)
Line (220,140) - (420,340)
Line (220,340) - (420,340)
'Прямой угол
Color 12
Line (220,320) - (240,320)
Line (240,320) - (240,340)
'Углы
Color 13
Locate 20,29
Print "x"
Locate 42,50
Print "y"
'Стороны
Color 14
Locate 31,43
Print "Z"
Locate 31, 26
Print "Y"
Locate 45, 40
Print "X"
Sleep
Квадрат в нижнем правом углу означает, что этот угол является прямым углом (90 градусов). Сторона, противоположная этому углу (сторона Z) называется гипотенузой и это самая длинная сторона в прямоугольном треугольнике.
Теорема Пифагора
Пожалуй первый бит тригонометрии, которому учат большинство людей - это широко известная теорема Пифагора. Она просто заявляет, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов двух других сторон. Это легче понять в форме уравнения.
Z^2 = X^2 + Y^2
Тривиальный пример применения этого закона может быть следующим.
Если один игрок прошел 100 метров в сторону восточного направления, а второй игрок из той же точки 150 метров в северном направлении, как далеко они находятся друг от друга?
D = SQR(100^2 + 150^2)
Тригонометрические функции
Люди давно обнаружили, что независимо от размера треугольника, определенные коэффициенты всегда были одинаковыми. Например в изображении выше, если один из углов прямоугольного треугольника 45 градусов, то независимо от размера треугольника, отношение Y / X всегда будет тем же самым. Коллекция этих соотношений является тригонометрическими функциями.
Три основные функции — синус (Sin), косинус (Cos), и тангенс (Tan). Есть много разных способов для определения этих трех функций. Один из способов - это отношение между сторонами прямоугольного треугольника.
- Синус (Sin) - это отношение противолежащей
от угла стороны к гипотенузе. В треугольнике выше, синус угла y
(пишем как SIN(y)) равен длине стороны Y, деленной на длину
стороны Z.
- Косинус (Cos) - это отношение прилежащей к углу
стороны к гипотенузе. В треугольнике выше, косинус угла y
(пишем как COS(y)) равен длине стороны X, деленной на длину
стороны Z.
- Тангенс (Tan) - это отношение противолежащей
стороны к прилежащей. В треугольнике выше, тангенс угла y
(пишем как Tan(y)) равен длине стороны Y, деленной на длину
стороны X.
FreeBASIC имеет функции для вычисления этих тригонометрических функций и др.
Применение тригонометрических функций
Обратимся снова к изображению треугольника выше, скажем, что один игрок находится на земле в точке вблизи угла у , а второй игрок находится в точке вблизи угла х (от земли). Если первый игрок знает, как далеко он от боковой Y (скажем, 25,2 метров) и может измерить значение угла у (скажем 31,5 градусов), как далеко от земли находится второй игрок? На каком расстоянии друг от друга находятся игроки?
Чтобы решить эту проблему мы смотрим на те кусочки информации, которые узнали выше. Мы знаем, прилегающую сторону угла у (25,2 метров) и меру угла у (31,5 градусов). Этой информации достаточно, чтобы использовать функцию тангенс. Tan ( y ) = катет напротив/катет рядом, или TAN(31.5 градусов) = катет напротив/25.2 метров. Используя алгебраическую перестановку, получаем тангенс напротив = Tan(31.5 градусов) * 25.2 метров. Чтобы найти расстояние между игроками , мы можем использовать теорему Пифагора теперь, когда мы знаем эти два катета треугольника и мы можем использовать косинус. Использование косинуса даст Cos ( y ) = катет рядом/гипотенуза. Используя алгебраическую перестановку, получаем гипотенуза = 25.2/Cos(31.5 градусов).
Прежде чем мы сможем написать программу для решения этого, мы должны помнить, что FreeBASIC, как и большинство языков программирования, работает с радианами, а не с градусами (см. Углы ).
В FreeBASIC мы могли бы получить ответ с помощью этого кода.
Const PI As Double = 3.1415926535897932
Dim Opposite As Double
Dim Hypotenuse As Double
Dim Angle As Double
Angle = 31.5 * Pi / 180
Opposite = Tan ( Angle ) * 25.2
Hypotenuse = 25.2 / Cos ( Angle )
Print Opposite
Print Hypotenuse
Sleep
Dim Opposite As Double
Dim Hypotenuse As Double
Dim Angle As Double
Angle = 31.5 * Pi / 180
Opposite = Tan ( Angle ) * 25.2
Hypotenuse = 25.2 / Cos ( Angle )
Print Opposite
Print Hypotenuse
Sleep
Приведенный выше код говорит нам, что игрок два находится ~15,4 метров от земли , а расстояние между ними ~29,5 метров (по гипотенузе).
Обратные тригонометрические функции
Но что, если вы знаете, стороны треугольника и нужно найти угол? Для этого вы должны использовать обратные тригонометрические функции.
- Арксинус (или обратный синус)
- Арккосинус (или обратный косинус)
- Арктангенс (или обратный тангенс)
Print Asin (30/50)
Это дает угол около 0,6435 радиан, или около 36,9 градусов. FreeBASIC команды для каждой из этих обратных функций:
- Asin (Арксинус)
- Acos (Арккосинус)
- Atn (Арктангенс, есть также Atan2
, которая принимает противоположные и смежные стороны треугольника, а не их
отношение)
Есть и другие тригонометрические функции, которые определены в терминах этих функций. Хотя ни одна из ниже описанных, не определена в FreeBASIC.
- Секанс (sec(y)) по сути 1/Cos(y)
- Косеканс (csc(y)) по сути 1/Sin(y)
- Котангенс (cot(y)) по сути 1/Tan(y)
Теоремы синусов, косинусов и другие тождества
Все вышеперечисленное было о прямоугольном треугольнике, но это была помощь в объяснении основных тригонометрических функций. Следующее не полагается на прямоугольные треугольники; Эти формулы действительны для любого треугольника.
Теоремы синусов
Sin (y)/Y = Sin (x)/X = Sin (z)/Z
Теоремы косинусов
Z^2 = X^2 + Y^2 - 2*X*Y*Cos(z)
Другие тождества
Sin^2(y) + Cos^2(y) = 1
Это означает тоже , что и Sin(y)*Sin(y) + Cos(y)*Cos(y) = 1
Tan(y) = Sin((y)/Cos(y)
Есть и другие полезные тождества. Ищите тригонометрические тождества или консультируйтесь по ним на определенных математических сайтах.